如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的平分线,CE⊥AE

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  • 解题思路:(1)对矩形判定的考查,由AB=AC,AD是∠BAC的平分线,可得AD⊥BC,CE⊥AE于点,可得出四边形ADCE为矩形,从而得到AC=DE,进而得到答案;

    (2)首先根据已知条件得出BC,再根据等腰三角形的性质得到DC,再利用勾股定理求出AC的长,利用三角形面积相等,当P与E点重合,当P与C点重合,求出y与x的函数关系式即可.

    (1)证明:∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,

    ∵AD是∠BAC的平分线,AE是∠CAF的外角平分线,

    ∴∠DAC+∠CAE=90°即∠DAE=90°,

    又CE⊥AE,

    ∴四边形ADCE为矩形;

    ∴AC=DE,

    ∵AB=AC,

    ∴AB=DE,

    (2)∵S△ABC=48,AD=8,

    ∴BC=12,

    ∵AD⊥BC,AB=AC,

    ∴DC=6,

    ∴AC=10,

    ∵x为点P到直线AC的距离,y为点P到直线AB的距离,

    ∴当P与C点重合,

    ∴PM•AB=AD•BC,

    ∴10PM=8×12,

    ∴PM=9.6,

    ∴x=0,y=9.6,

    ∴x+y=9.6,

    ∴y=9.6-x(0≤x≤4.8).

    当P与E点重合,

    过点P作PS⊥BA,PN⊥AC,

    ∵PN•AC=AP•PC,

    ∴10PN=8×6,

    ∴PN=4.8,

    ∵AE是外角∠CAF的平分线,

    ∴PS=PN,

    ∴x=4.8,y=4.8,

    ∴x+y=9.6,

    ∴y=9.6-x(0≤x≤4.8).

    综上所述,可以得出P点在线段CE上移动时,

    y与x的函数关系式为:y=9.6-x,自变量x的取值范围为:0≤x≤4.8.

    点评:

    本题考点: 矩形的判定与性质;等腰三角形的性质.

    考点点评: 此题主要考查了矩形的性质与判定,勾股定理的应用,解决问题的关键是:①证明四边形ADCE为矩形,②求出AC的长.