Question

已知函数 f(x)=4cosx•sin(x- π 3 )+a 的最大值为2．

Answer 1

f(x)=4cosx(

1

2 sinx-

3

2 cosx)+a=2sinxcosx-2

3 co s 2 x+a

= sin2x-

3 (1+cos2x)+a=2sin(2x-

π

3 )+a-

3 ．

（1）若f（x）的最大值为2，则 a-

3 =0 ，∴ a=

3 ，

此时， f(x)=2sin(2x-

π

3 ) ，其最小正周期为π；

（2）由（1）知， f(x)=2sin(2x-

π

3 ) ，

若x是三角形内角，则0＜x＜π，∴ -

π

3 ＜2x-

π

3 ＜

5π

3 ，

令f（x）=1，则 sin(2x-

π

3 )=

1

2 ，

∴ 2x-

π

3 =

π

6 或 2x-

π

3 =

5π

6 ，解得 x=

π

4 或 x=

7π

12 ，

由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f（A）=f（B）=1，

∴ A=

π

4 ，B=

7π

12 ，∴ C=π-A-B=

π

6 ，

∴

BC

AB =

sinA

sinC =

sin

π

4

sin

π

6 =

2 ．