(2003•武汉)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:①a

4个回答

  • 解题思路:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),把点(-1,0)代入解析式,结合4a+2b+c>0,即可整理出a+b>0;

    (2)②+①×2得,6a+3c>0,结合a<0,故可求出a+c>0;

    (3)画草图可知c>0,结合a-b+c=0,可整理得-a+b+c=2c>0,从而求得-a+b+c>0;

    (4)把(-1,0)代入解析式得a-b+c=0,可得出2a+c>0,再由a<0,可知c>0则c-2a>0,故可得出(c+2a)(c-2a)>0,即b2-2ac-5a2>0,进而可得出结论.

    (1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),

    所以原式可化为a-b+c=0----①,

    又因为4a+2b+c>0----②,

    所以②-①得:3a+3b>0,

    即a+b>0;

    (2)②+①×2得,6a+3c>0,

    即2a+c>0,

    ∴a+c>-a,

    ∵a<0,

    ∴-a>0,

    故a+c>0;

    (3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:

    可见c>0,

    ∵a-b+c=0,

    ∴-a+b-c=0,

    两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c,

    整理得-a+b+c=2c>0,

    即-a+b+c>0;

    (4)∵过(-1,0),代入得a-b+c=0,

    ∴b2-2ac-5a2=(a+c)2-2ac-5a2=c2-4a2=(c+2a)(c-2a)

    又∵4a+2b+c>0

    4a+2(a+c)+c>0

    即2a+c>0①

    ∵a<0,

    ∴c>0

    则c-2a>0②

    由①②知(c+2a)(c-2a)>0,

    所以b2-2ac-5a2>0,

    即b2-2ac>5a2
    综上可知正确的个数有4个.

    故选D.

    点评:

    本题考点: 二次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象与系数的关系.

    考点点评: 此题是一道结论开放性题目,考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系,同时结合了不等式的运算,是一道难题.