Question

已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、

Answer 1

解题思路：（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．

（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．

（1）由题意，可设椭圆的标准方程为

x2

a2+

y3

b2＝1（a＞b＞0）

∵y²=4x的焦点为F（1，0）

∴c=1，又2b=2，

∴b=1，a²=b²+c²=2，

所以，椭圆的标准方程为

x2

2+y2＝1

其离心率为e=

2

2

（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，

∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（[3/2]，0）

若AB垂直于x轴，则A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁）

∴AC的中点为N（[3/2]，0）

∴线段EF的中点与AC的中点重合，

∴线段EF被直线AC平分，

若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为

y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

则C（2，-y₂）

把y=k（x-1）代入

x2

2+y2＝1

得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0

则有x₁+x₂=

4k2

1+2k2，x₁x₂=

2(k2−1)

1+2k2

∴k_AM=

y1

x1−

3

2＝

k(x1−1)

x1−

3

2

=

2k(x1−1)

2x1−3，k_CM=

y2

2−

3

2＝2k(x2−1)，

∵k_AM-k_CM=2k

点评：

本题考点： 圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查了圆锥曲线的综合运用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．属中档题．