Question

抛物线C：x 2 =2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点；当抛物线上点N的纵坐标为1时，|NF|=2，已知直线l经过

Answer 1

（1）由已知得焦点 F(0，

p

2 ) ，准线方程为 y=-

p

2 ，

由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得 |NF|=

p

2 + y N =

p

2 +1

又|NF|=2，

∴

p

2 +1=2∴p=2 ，

∴抛物线的方程为x ²=4y（4分）

（2）依题意设直线l的方程为：y=kx+1（k必存在）

y=kx+1

x 2 =4y ⇒ x 2 -4kx-4=0 ，…（6分）

则△=16k ²+16＞0，

设直线l与抛物线的交点坐标为A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），

则有x ₁+x ₂=4k，x ₁x ₂=-4，…（8分）

∴ |AB|=

1+ k 2 | x 1 - x 2 |=

1+ k 2 •

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =4(1+ k 2 ) …（10分）

∵O到AB的距离 d=

1

k 2 +1 ，

∴ S △AOB =

1

2 |AB|d=2

k 2 +1 =4 ，

∴ k=±

3 ，

∴直线方程为 y=±

3 x+1 …..（12分）