已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是______.

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  • 解题思路:根据题意可得已知圆的圆心为C(5,-7),半径r=4.若半径为1的动圆与已知圆相切,则由两圆相切的位置关系及其性质,可得动圆圆心到C的距离等于3或5,由圆的性质得其轨迹为以C为圆心、半径等于3或5的圆,由此得到动圆圆心的轨迹方程.

    圆(x-5)2+(y+7)2=16的圆心为C(5,-7),半径r=4.

    ∵半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,

    ∴当两圆内切时,动圆圆心A到点C的距离等于两圆的半径之差的绝对值,

    |BC|=4-1=3,因此动圆圆心的轨迹为以C为圆心,半径等于3的圆,

    轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=9;

    当两圆外切时,动圆圆心B到点C的距离等于两圆的半径之和,

    |BC|=4+1=5,因此动圆圆心的轨迹为以C为圆心,半径等于5的圆,

    轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25.

    综上所述,所求动圆圆心的轨迹方程是(x-5)2+(y+7)2=9或(x-5)2+(y+7)2=25.

    故答案为:(x-5)2+(y+7)2=9或(x-5)2+(y+7)2=25.

    点评:

    本题考点: 轨迹方程.

    考点点评: 本题给出圆的方程,求半径为1且与已知圆相切的动圆的圆心轨迹方程,着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和动点轨迹的求法等知识,属于中档题.