解题思路：（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；
（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；
（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等；
（4）联立（2）和（3），所得四边形要成为正方形，则需对角线垂直且相等．
（1）连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF=[1/2]AC，FG∥BD，FG=[1/2]BD，GH∥AC，GH=[1/2]AC，EH∥BD，EH=[1/2]BD．
∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；
（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；
（4）要使四边形EFGH是正方形，综合（2）和（3），则需AC⊥BD且AC=BD．
点评：
本题考点： 三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．
考点点评： 此题主要是对三角形的中位线定理的运用．
同时熟记此题中的结论：
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得四边形是正方形．