如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.

2个回答

  • 解题思路:(1)利用互余关系证明∠MAC=∠NCB,又∠AMC=∠CNB=90°,AC=BC,故可证△AMC≌△CNB,从而有AM=CN,MC=BN,利用线段的和差关系证明结论;

    (2)类似于(1)的方法,证明△AMC≌△CNB,从而有AM=CN,MC=BN,可推出AM、BN与MN之间的数量关系.

    证明:(1)∵AM⊥MN,BN⊥MN,

    ∴∠AMC=∠CNB=90°,

    ∵∠ACB=90°,

    ∴∠MAC+∠ACM=90°,∠NCB+∠ACM=90°,

    ∴∠MAC=∠NCB,

    在△AMC和△CNB中,

    ∠AMC=∠CNB,

    ∠MAC=∠NCB,

    AC=CB,

    △AMC≌△CNB(AAS),

    AM=CN,MC=NB,

    ∵MN=NC+CM,

    ∴MN=AM+BN;

    (2)结论:MN=BN-AM.

    ∵AM⊥MN,BN⊥MN,

    ∴∠AMC=∠CNB=90°,

    ∵∠ACB=90°,

    ∴∠MAC+∠ACM=90°,∠NCB+∠ACM=90°,

    ∴∠MAC=∠NCB,

    在△AMC和△CNB中,

    ∠AMC=∠CNB,

    ∠MAC=∠NCB,

    AC=CB,

    △AMC≌△CNB(AAS),

    AM=CN,MC=NB,

    ∵MN=CM-CN,

    ∴MN=BN-AM.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质.关键是利用互余关系推出对应角相等,证明三角形全等.