Question

m,n均为三维单位列向量且(m^T)n=0,令A=m（n^T）+n（m^T）证明A与对角阵【1,-1,0】相似

Answer 1

证明:因为α^Tβ=0,知 β^Tα=0,且α,β线性无关

所以 α+β,α-β 线性无关.(略)

因为 Aα=(αβ^T+βα^T)α=αβ^Tα+βα^Tα=β

同理 Aβ=(αβ^T+βα^T)β=αβ^Tβ+βα^Tβ=α

所以 A(α+β)=Aα+Aβ=α+β,A(α-β)=Aα-Aβ=α-β.

所以 α+β,α-β 是A的属于特征值1的线性无关的特征向量.

因为 A^T=A,A是对称矩阵,所以A可对角化

所以 r(A)>=2.

又因为 r(A)=r(αβ^T+βα^T)