解题思路:(I)由a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,消去b,得a>c>0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,即-2a<b<-a,进而可得a>0,且-2<ba<-1;(Ⅱ)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点为(-b3a,3ac-b23a),结合(1)中结论,可得-b3a∈(0,1)且f(0)>0,f(1)>0,f(-b3a)=-a2+c2-ac3a<0,且图象连续不断,由函数零点存在定理可得结论.
证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=3ax2+2bx+c,f(0)>0,f(1)>0,
∴c>0,3a+2b+c>0,…(2分)
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,即-2a<b<-a,…(5分)
∴-2<
b
a<-1; …(6分)
(Ⅱ)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点为(-
b
3a,
3ac-b2
3a),
由-2<
b
a<-1,得[1/3<-
b
3a<
2
3],即有-
b
3a∈(0,1),…(8分)
又∵f(0)>0,f(1)>0,f(-
b
3a)=-
a2+c2-ac
3a<0,且图象连续不断,
∴函数y=f(x)在区间(0,-
b
3a)与(-
b
3a,1)内分别有一个零点,
故函数y=f(x)在(0,1)内有两个不同的零点.…(12分)
点评:
本题考点: 二次函数的性质;函数零点的判定定理.
考点点评: 本题考查的知识点是函数零点的判定定理,二次函数的图象和性质,综合性强,运算强度大,属于中档题.