设函数f(x)=3ax2+2bx+c,且有a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.

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  • 解题思路:(I)由a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,消去b,得a>c>0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,即-2a<b<-a,进而可得a>0,且-2<ba<-1;(Ⅱ)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点为(-b3a,3ac-b23a),结合(1)中结论,可得-b3a∈(0,1)且f(0)>0,f(1)>0,f(-b3a)=-a2+c2-ac3a<0,且图象连续不断,由函数零点存在定理可得结论.

    证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=3ax2+2bx+c,f(0)>0,f(1)>0,

    ∴c>0,3a+2b+c>0,…(2分)

    由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;

    由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,即-2a<b<-a,…(5分)

    ∴-2<

    b

    a<-1; …(6分)

    (Ⅱ)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点为(-

    b

    3a,

    3ac-b2

    3a),

    由-2<

    b

    a<-1,得[1/3<-

    b

    3a<

    2

    3],即有-

    b

    3a∈(0,1),…(8分)

    又∵f(0)>0,f(1)>0,f(-

    b

    3a)=-

    a2+c2-ac

    3a<0,且图象连续不断,

    ∴函数y=f(x)在区间(0,-

    b

    3a)与(-

    b

    3a,1)内分别有一个零点,

    故函数y=f(x)在(0,1)内有两个不同的零点.…(12分)

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质;函数零点的判定定理.

    考点点评: 本题考查的知识点是函数零点的判定定理,二次函数的图象和性质,综合性强,运算强度大,属于中档题.