解题思路：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；
（3）P、B重合，E点在x轴上，这样A、P、E三点在x轴上，所以A、P、E、F为顶点不可能构成平行四边形，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0-2）2-1，a=1；
∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（3，0），C（0，3）代入上式得：
3k+b=0
b=3，
解得
k=-1
b=3；
∴y=-x+3；
设D2（x，-x+3），P2（x，x2-4x+3），
则有：（-x+3）+（x2-4x+3）=0，
即x2-5x+6=0；
解得x1=2，x2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；
∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）．
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；
（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（2，-1），
∴可设F（x，1）；
∴x2-4x+3=1，
解得x1=2-
2，x2=2+
2；
∴符合条件的F点有两个，
即F1（2-
2，1），F2（2+
2，1）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．