数学家在研究误差理论时,发现有如下的规律：
1）平均值附近的测量数据出现的概率很大
2）绝对值较大的误差出现的概率小；
3）正的误差和负的误差（相对于平均值而言）出现的概率相等；
根据这几条（规律）假定,可以得出正态概率密度函数f(x)有如下特征：
A.f(x) 相对平均值是一个偶函数；
B.f(x)在x的平均值处有最大值,
C.f(土∞)＝0
D.根据密度函数必须满足的条件：f(x)的无穷积分＝1
根据上述条件,构造概率密度函数：f(x)=a e^{-b(x-μ)²}
并解出：a,b：a=1/√2πσ b=1/2σ²
而得到正态分布的概率密度函数：
f(x)=1/√2πσ e^{-(x-μ)²/2σ²} （1）
（过程写的不细,大体步骤如此.）
对数正态分布：工程中有些数据,不服从正态分布,但是对它们取对数之后却服从正态分布；即：ln x 服从正态分布.为了给出对数正态分布的概率密度函数,先算出ln x的平均值和标准差（计算方法和计算一般数据的平均值和标准差的方法一样）,之后代入(1)式即可.