如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E为AD的中点,DF⊥BE,垂足为F,CF交AD于点G.

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  • 解题思路:(1)连接AF,并延长交BC于N,根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF,推出,[DC/DF]=[AE/EF],再证△CDF∽△AEF,推出∠CFD=∠AFE,证出A、F、D、C四点共圆即可;

    (2)根据已知推出∠EFG=∠ABD,证F、N、D、G四点共圆,推出∠EGF=∠AND,根据三角形的外角性质推出∠EGF>∠EFG即可.

    (1)证明:连接AF,并延长交BC于N,

    ∵AD⊥BC,DF⊥BE,

    ∴∠DFE=∠ADB,

    ∴∠BDF=∠DEF,

    ∵BD=DC,DE=AE,

    ∵∠BDF=∠DEF,∠EFD=∠BFD=90°,

    ∴△BDF∽△DEF,

    ∴[BD/DF]=[DE/EF],

    则[DC/DF]=[AE/EF],

    ∵∠AEF=∠CDF,

    ∴△CDF∽△AEF,

    ∴∠CFD=∠AFE,

    ∴∠CFD+∠AEF=90°,

    ∴∠AFE+∠CFE=90°,

    ∴∠ADC=∠AFC=90°,

    ∴A、F、D、C四点共圆,

    ∴∠CFD=∠CAD.

    (2)证明:∵∠BAD+∠ABD=90°,∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°,∠CFD=∠CAD=∠BAD,

    ∴∠EFG=∠ABD,

    ∵CF⊥AD,AD⊥BC,

    ∴F、N、D、G四点共圆,

    ∴∠EGF=∠AND,

    ∵∠AND>∠ABD,∠EFG=∠ABD,

    ∴∠EGF>∠EFG,

    ∴DF<EF.

    点评:

    本题考点: 四点共圆;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题综合考查了相似三角形的性质和判定,四点共圆等知识点,此题难度较大,对学生提出了较高的要求,但题型较好.