解题思路：（I）分别取AD、AF的中点G、H，连接GH、MG、NH．利用三角形中位线定理结合棱柱的性质，可以证出HN与MG平行且相等，所以MNHG是平行四边形，得到MN∥GH，最后根据线面平行的判定定理，得出MN∥平面ADF；
（II）分别过点M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分别是L、K．由面面垂直的性质定理，可得NK⊥平面ABCD，利用含有60°的直角三角形，算出S△ABM，利用含有45°的直角三角形，算出NK的长，从而得到四面体AMNB的体积关于实数a的二次函数表达式，结合二次函数的性质，不难得到当四面体AMNB的体积最大时，实数a的值．
（I）分别取AD、AF的中点G、H，连接GH、MG、NH
∵△ACD中，MG是中位线，∴MG∥CD且MG=[1/2]CD
同理可得：HN∥AB且HN=[1/2]AB
∵AB∥CD且AB=CD，
∴HN∥MG且HN=MG，可得四边形MNHG是平行四边形
∴MN∥GH
∵GH⊆平面ADF，MN⊈平面ADF，
∴MN∥平面ADF；
（II）分别过点M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分别是L、K
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，NK⊆平面ABEF，NK⊥AB
∴NK⊥平面ABCD
∵Rt△AML中，∠MAL=∠ABC=60°，AM=a，∴ML=asin60°=
3
2a
∵Rt△NKB中，∠NBK=45°，NB=2
2-a，∴NK=2-
2
2a
因此，四面体AMNB的体积为
V=[1/3]S△ABM•NK=[1/3]（[1/2]×2×
3
2a）（2-
2
2a）=
3
3a-
6
12a2=-
6
12（a-
2）2+
6
6（0≤a≤2）
∴当且仅当a=
2时，四面体AMNB的体积最大值为
6
6．
所以，当四面体AMNB的体积最大时，实数a的值为
2．
点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质，空间几何体体积的计算和二次函数的最值等知识，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题．