Question

已知f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．

Answer 1

解题思路：（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函数f（x）=ln（e^x）=x，经检验满足条件，故所求实数a的值为0．

（2）根据f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log₂x在x∈[2，3]上恒成立，求出函数y=log₂x在x∈[2，3]上的最小值为log₂2=1，可得λ的取值范围．

（1）函数f（x）=ln（e^x+a）是定义域为R的奇函数，

令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（e^x）=x． …（4分）

显然有f（-x）=-f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0．…（6分）

（2）f（x）=x，g（x）=λx，则λx≤xlog₂x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log₂x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）

∵函数y=log₂x在x∈[2，3]上的最小值为log₂2=1，…（11分）

∴λ≤1，即λ的取值范围为（-∞，1]．…（12分）

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，属于中档题．