Question

已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．

Answer 1

（1）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK

因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点

所以AM

所以MO

由AA′

AK，得MO

AA′

因为AK

BD，AK

BB′，

所以AK

平面BDD′B′

所以AK

BD′

所以MO

BD′

又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线

（2）取BB′中点N，连接MN，则MN

平面BCC′B′

过点N作NH

BC′于H，

连接MH则由三垂线定理得BC’

MH

从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角

MN=1，NH=Bnsin45°=

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2

（3）易知，S _△OBC=S _△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内

点O到平面MA′D′距离h=

V _M﹣OBC=V _{M﹣OA’D’}=V _{O﹣MA’D’}=

S _{△MA’D’h}=