Question

给定下列命题：（1）空间直角坐标系O-XYZ中，点A（-2，3，-1）关于平面XOZ的对称点为A′（-2，-3，-1）．

Answer 1

解题思路：（1）根据空间直角坐标系中点两点关于坐标平面对称的规律，可得与点A（1，2，3）关于平面xoz的对称点，它的横坐标和竖坐标与P相等，而纵坐标与P互为相反数，因此不难得到正确答案．

（2）直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的表面积．

（3）由数列{a_n}为等比数列可得S_n=A•qⁿ+B必满足A+B=0，从而可求C=-1．

（4）先根据

a

1

a

2

＝

b

1

b

2

，进行赋值说明此时A≠B，进行判定即可．

（5）由于

S

n

n

＝

1

2

(

a

1

+

a

n

)＝

a

1

+

n−1

2

d

，

S

1

1

＝

a

1

，故得到P₁P_n所在直线的斜率为[1/2]d，即得结论．

（1）设所求的点为A′（x，y，z），

∵点A′（x，y，z）与点A（-2，3，-1）关于平面XOZ的对称，

∴A、A′两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，

即x=-2，y=-3，z=-1，得A′（-2，-3，-1），故（1）正确；

（2）正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，

所以，球的直径为：

3，半径为：

3

2．

球的表面积为：4πr²=3π，故（2）错误；

（3）由题意可得，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=C+2ⁿ-C-2^n-1=2^n-1；a₁=S₁=C+2

由数列{a_n}为等比数列可得a₁=C+2适合上式，即C+2=1

∴C=-1，故（3）正确；

（4）∵

a1

a2=

b1

b2，∴取a₁=1，a₂=-1，b₁=-1，b₂=1，A≠B，故（4）错误；

（5）由于

Sn

n=

1

2(a1+an)=a1+

n-1

2d，

S1

1=a1，

故得到P₁P_n所在直线的斜率为

Sn

n-

S1

1

n-1=

a1+

n-1

2d-a1

n-1=[1/2]d，

故点P₁（1，

S1

1）、P₂（2，

S2

2）、…、P_n(n，

Sn

n)（n∈N^*）必在同一直线上，故（5）正确．

故答案为 （1）（3）（5）

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．

考点点评： 考查了空间点与点关于平面对称，球的体积和表面积，等比数列的定义的应用的等知识点，属于中档题．