Question

设n阶矩阵A满足A^2=A且A≠E,证明｜A｜=0

Answer 1

设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX.

而又有

A^2×X=A(AX)=A(jX)=j(AX)=j^2×X 因为A^2=A,故有：j^2×X=j×X即 j^2=j

求得 j=0 j=1

由A^2=A 有A^2－A－2E=－2E

因为E^2=E A×E=A

故上式化成

（A＋E）×（A－2E）=－2E

从而E＋A可逆

所以|A|=0