1、根据正弦定理
sinAtanB=sinBtanA
所以sinA/tanA=sinB/tanB
即cosA=cosB
由于A、B均在三角形内
所以A=B
所以三角形ABC为等腰三角形.
2、根据正弦定理
所以(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=b/sinB=c/sinC
又S△ABC=bcsinA/2=(√3)c/4=√3
所以c=4
又a^2=b^2+c^2-2bccosA=13
所以a=√13,因此
(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=2(√39)/3
3、根据正弦定理
tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sinB)
注：这里要用到三角函数中和差化积的公式：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]
因此tan[(A-B)/2]=tan(C/2)tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
所以C=90度或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.
4、根据题意
2b=a+c,不妨设C>A,所以C=2A（三角形中大边对大角,因此C最大,A最小）
所以2sinB=sinA+sinC=sinA+sin2A
又由于sinB=sin(A+C)=sin3A
所以2sin3A=sinA+sin2A
所以
6sinA-8(sinA)^3=sinA+2sinAcosA
由于sinA不等于0
所以6-8（sinA)^2=1+2cosA
因此8(cosA)^2=3+2cosA
所以cosA=3/4（只取正值）,所以A=areccos(3/4)
因此cosC=cos2A=2(cosA)^2-1=1/8,C=arccos(1/8)
cosB=-cos(A+C)=-cos(3A)=3cosA-4(cosA)^3=9/16,所以B=arccos(9/16)
这个题,a、b、c具体的值无法算出,因为存在无数个满足上述条件的相似三角形.
5、第一问,由于2b=a+c
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[3(a+c)^2/4-2ac]/2ac≥(3ac-2ac)/2ac=1/2
所以B≤60度
第二问
由于b^2=ac
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac≥(2ac-ac)/2ac=1/2
所以B≤60度
又b^2=ac,不妨设a