连结AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F
∴CE‖DF,∠AEC=90°,∠BFE=90°．
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°．
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角,
∴△ACB∽△AEC,
∴AC：AB=AE：AC
即PA2=AC2=AE•AB,
同理PB²=BD²=BF•AB．
两式相减可得PA²-PB²=AB（AE-BF）,
∴PA²-PB²=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB）,
∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,
∴PE=PF,
∴点P是线段EF的中点．
∵M是CD的中点,
∴MP是直角梯形CDEF的中位线,
∴MP⊥AB,
∴MP分别与⊙A和⊙B相切．