Question

（2014•洛阳一模）选修4-1：几何证明选讲

Answer 1

解题思路：（I）利用圆的性质即可得出∠AMB=90°，再利用四点共圆的判定定理即可得出；

（2）连接AC，BC．由A、E、F、M四点共圆，利用切割线定理可得BF•BM=BE•BA．连接AC，BC．则∠ACB=90°．又CD⊥AB．利用射影定理可得AC²=AE•AB．相加即可得出．

证明：（I）如图所示．

连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°．

∴∠AMB+∠AEF=180°，

∴A、E、F、M四点共圆；

（II）连接AC，BC．

由A、E、F、M四点共圆，∴BF•BM=BE•BA．

连接AC，BC．则∠ACB=90°．

又CD⊥AB．

∴AC²=AE•AB．

∴AC²+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB²．

点评：

本题考点： 圆周角定理；与圆有关的比例线段．

考点点评： 熟练掌握圆的性质、四点共圆的判定定理、切割线定理、射影定理等是解题的关键．