Question

证明x^2+y^2=a与xy=b(a,b)为常数在交点处切线相互垂直

Answer 1

证明：

本题应该是：证明x^2-y^2=a与xy=b(a,b)为常数在交点处切线相互垂直!

x^2-y^2=a①两边对x求导得

2x-2y*y'=0

解得y'=x/y

xy=b②得y=b/x,则y'=-b/x^2

联立①和②,有

y1'*y2'=x/y*(-b/x^2)=-b/(xy)=-b/b=-1

故两双曲线在交点处切线相互垂直.

如果其中一个是圆x^2+y^2=a,则只能得到二者交点处的切线斜率之积为1,不是-1,所以没有垂直关系.