Question

在数列{an}中，Sn为其前n项和．已知4an=1+2Sn（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件得4a_n-1=2a_n．又4a₁=1+2a₁，解得a₁=[1/2]，可求得数列{a_n}的通项公式；

（2）由题意，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等价于

2

n(3n+5)

2

＞2⁷⁶，可求得结果；

（3）假设存在，利用错位相减法，即可求得结果．

（1）∵4a_n=1+2S_n（n∈N^*），

∴4a_n-1=2a_n．∴

an

an−1=2，

又4a₁=1+2a₁，解得a₁=[1/2]，

∴an＝

1

2•2n−1=2^n-2．

（2）由（1）知，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=[1/2]×2²×2⁵×…×2^3n-4=2

n(3n+5)

2，

a₇₈=2⁷⁶，

∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等价于2

n(3n+5)

2＞2⁷⁶，

∴

n(3n+5)

2＞76，解得n＜-[19/3]或n＞8，

故存在最小值为8的M，使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立．

（3）设存在数列{b_n}是等差数列，其通项为b_n=kn+b，则

∵b₁•a_n+b₂•a_n-1+b₃•a_n-2+…+b_n-1•a₂+b_n•a₁=2ⁿ-[n/2]-1，

∴b₁•2^n-1+b₂•2^n-2+…+2b_n-1+bn＝2n+1−n+2，

两式相减可得b₁•2^n-1+k（2^n-2+2^n-3+…+1）-[1/2]b_n=2n−

n

2−1，

∴（k+[b/2]）-2ⁿ-[b/2n-（k+

b

2]）=2n−

n

2−1

∴

k+

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题为等差、等比数列与不等式的综合应用，考查错位相减法的运用，考查分类讨论的数学思想，属中档题．