解题思路：①利用二倍角公式对已知等式整理求得sin
C/2]的值，进而求得C=[π/2]．
②利用基本不等式推断结论正确．
③根据周长建立关于a和b的等式，利用基本不等式的知识确定ab的范围，则三角形的面积的范围可得．
④利用正弦定理把边的问题转化为角的正弦，使之平方，把问题转化为一元二次函数的问题，根据二次函数的单调性确定[c/a
+
c
b]的范围．
∵tan[A+B/2]=
sin
A+B
2
cos
A+B
2=
cos
C
2
sin
C
2=sinC=2sin[C/2]•cos[C/2]，
求得sin2[C/2]=[1/2]，sin[C/2]=
2
2，
∴[C/2]=[π/4]，C=[π/2]，
∴△ABC为直角三角形．故①正确．
②∵A+B=[π/2]，
∴tan（C-A）=cot（C-B）
∴[1
tan(C−A)+
1
tan(C−B)=cot（C-B）+
1
tan(C−B)≥2，故②正确．
③中，a+b+
a2+b2=4，整理得8+ab=4（a+b），
∵a+b≥2
点评：
本题考点： 解三角形的实际应用；余弦定理．
考点点评： 本题主要考查了解三角形的综合问题．综合考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式问题，以及转化和化归思想的运用．
1年前
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