Question

已知定义域为R的函数f（x）= - 2 x +b 2 x+1 +a 是奇函数．

Answer 1

（1）因为f（x）为R上的奇函数，

所以f（0）=0，即

-1+b

2+a =0，解得b=1，

由f（-1）=-f（1），得

- 2 -1 +1

2 0 +a =-

-2+1

2 2 +a ，解得a=2，

所以a=2，b=1；

（2）f（x）为R上的奇函数，证明如下：

由（1）知f（x）=

- 2 x +1

2 x+1 +2 =-

1

2 +

1

2 x +1 ，

设x ₁＜x ₂，

则f（x ₁）-f（x ₂）=（-

1

2 +

1

2 x 1 +1 ）-（-

1

2 +

1

2 x 2 +1 ）=

2 x 2 - 2 x 1

( 2 x 1 +1)( 2 x 2 +1) ，

因为x ₁＜x ₂，所以 2 x 2 - 2 x 1 ＞0， 2 x 1 +1＞0 ， 2 x 1 +1＞0，

所以f（x ₁）-f（x ₂）＞0，即f（x ₁）＞f（x ₂），

所以f（x）为减函数；

（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t ²-2t）+f（2t ²-k）＜0可化为f（t ²-2t）＜-f（2t ²-k）=f（k-2t ²），

又由（2）知f（x）为减函数，所以t ²-2t＞k-2t ²，即3t ²-2t＞k恒成立，

而3t ²-2t=3 (t-

1

3 ) 2 -

1

3 ≥-

1

3 ，

所以k＜ -

1

3 ．