Question

已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．

Answer 1

解题思路：先计算出△，由pc-2b+ra=0消去△中的b，然后把△变形为（pc-ra）²+4ac（pr-1），无论ac为何值（a≠0），必有△≥0．

证明：由已知得2b=pc+ra，

所以△=（2b）²-4ac=（pc+ra）²-4ac

=p²c²+2pcra+r²a²-4ac

=p²c²-2pcra+r²a²+4pcra-4ac

=（pc-ra）²+4ac（pr-1）．

由已知pr-1＞0，又（pc-ra）²≥0，

所以当ac≥0时，△≥0；

当ac＜0时，也有△=（2b）²-4ac＞0．

综上，总有△≥0，

故原方程必有实数根．

点评：

本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了代数式的变形能力．