Question

设a,b,c都是正数且a+b+c=1,求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)

Answer 1

左式=(1+a)(1+b)(1+c)

=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)

=[(a+b)+(a+c)][(a+b)+(b+c)][(a+c)+(b+c)]

≥2√(a+b)√(a+c)·2√(a+b)√(b+c)·2√(a+c)√(b+c) （由均值不等式）

=8(b+c)(a+b)(a+c)

=8(1-a)(1-b)(1-c)=右式