在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O

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  • 解题思路:(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积;

    (2)解决本题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数;

    (3)利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.

    (1)∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45°,

    ∴OA旋转了45°.

    ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

    45π×22

    360=

    π

    2.

    (2)∵MN∥AC,

    ∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45°.

    ∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN.

    又∵BA=BC,∴AM=CN.

    又∵OA=OC,∠OAM=∠OCN,∴△OAM≌△OCN.

    ∴∠AOM=∠CON=[1/2](∠AOC-∠MON)=[1/2](90°-45°)=22.5°.

    ∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°.

    (3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.

    证明:延长BA交y轴于E点,

    则∠AOE=45°-∠AOM,∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM,

    ∴∠AOE=∠CON.

    又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN.

    ∴△OAE≌△OCN.

    ∴OE=ON,AE=CN.

    又∵∠MOE=∠MON=45°,OM=OM,

    ∴△OME≌△OMN.∴MN=ME=AM+AE.

    ∴MN=AM+CN,

    ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.

    ∴在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.

    点评:

    本题考点: 坐标与图形变化-旋转;全等三角形的判定;正方形的性质;扇形面积的计算.

    考点点评: 本题用到的知识点是:扇形面积=nπr2360,求一些线段的长度或角的度数,总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上.

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