如图(1),点M,N分别在等边三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.

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  • 解题思路:(1)由△ABC为等边三角形,易得AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°,又由BM=CN,利用SAS即可证得△ABM≌△BCN,然后利用全等三角形的对应角相等,即可求得∠BQM=60°;

    (2)证明方法同(1),首先证得△ABM≌△BCN,然后利用全等三角形的对应角相等,即可求得∠BQM=60°;

    (3)首先利用SAS证得△ABM≌△BCN,然后利用全等三角形的对应角相等,即可求得∠BQM=∠ABC=90°.

    (1)证明:∵△ABC为等边三角形,

    ∴AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°,…(1分)

    在△ABM和△BCN中,

    AB=BC

    ∠ABM=∠BCN

    BM=CN

    ∴△ABM≌△BCN(SAS),…(3分)

    ∴∠BAM=∠CBN,…(4分)

    ∵∠BQM=∠BAM+∠ABN,

    ∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°;…(5分)

    (2)∠BQM=60°还成立.…(7分)理由如下:

    ∵△ABC为等边三角形,

    ∴AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°,

    在△ABM和△BCN中,

    AB=BC

    ∠ABM=∠BCN

    BM=CN

    ∴△ABM≌△BCN(SAS),

    ∴∠BMA=∠CNB,

    ∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°;

    (3)∠BQM=60°不成立,∠BQM=90°.理由如下:

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴AB=BC,∠ABC=∠BCN=90°,

    在△ABM和△BCN中,

    AB=BC

    ∠ABM=∠BCN

    BM=CN,

    ∴△ABM≌△BCN(SAS),

    ∴∠BAM=∠CBN,

    ∵∠BQM=∠BAM+∠ABN,

    ∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;正方形的性质.

    考点点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及三角形外角的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意利用SAS证得△ABM≌△BCN是解此题的关键.