解题思路:(1)由△ABC为等边三角形,易得AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°,又由BM=CN,利用SAS即可证得△ABM≌△BCN,然后利用全等三角形的对应角相等,即可求得∠BQM=60°;
(2)证明方法同(1),首先证得△ABM≌△BCN,然后利用全等三角形的对应角相等,即可求得∠BQM=60°;
(3)首先利用SAS证得△ABM≌△BCN,然后利用全等三角形的对应角相等,即可求得∠BQM=∠ABC=90°.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°,…(1分)
在△ABM和△BCN中,
AB=BC
∠ABM=∠BCN
BM=CN
∴△ABM≌△BCN(SAS),…(3分)
∴∠BAM=∠CBN,…(4分)
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN,
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°;…(5分)
(2)∠BQM=60°还成立.…(7分)理由如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°,
在△ABM和△BCN中,
AB=BC
∠ABM=∠BCN
BM=CN
∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠BMA=∠CNB,
∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°;
(3)∠BQM=60°不成立,∠BQM=90°.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCN=90°,
在△ABM和△BCN中,
AB=BC
∠ABM=∠BCN
BM=CN,
∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠BAM=∠CBN,
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN,
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;正方形的性质.
考点点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及三角形外角的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意利用SAS证得△ABM≌△BCN是解此题的关键.