Question

如图所示,点D是Rt三角形ABC斜边AC的中点,DE垂直于AC,E与B在AC的两侧,DE=1/2AC,求证：BE平分角A

Answer 1

过点E作EF⊥AB,EG⊥BC,分别交AB、BC的延长线于点F、G,如下图.

∵DE=1/2AC∴AD＝CD＝DE又∵DE⊥AC∴△ADE与△CDE都是等腰直角三角形∴∠EAC＝∠ECA＝45°∴AE＝CE,∠AEC＝90°在四边形ABCE中,∠BAE＋∠ABC＋∠BCE＋∠AEC＝（4－2）×180°＝360°∴∠BAE＋∠BCE＝180°又∵∠BCE＋∠ECG＝180°∴∠BAE＝∠ECG在RT△AEF与RT△CEG中∠EAF＝∠ECG,AE＝CE∴△AEF≌△CEG∴EF＝EG到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,∴BE平分∠ABC