已知各项均不相等的等差数列{a n }的前n项和为 - 知识问答

已知各项均不相等的等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 3 ＝15，且a 3 ＋1为a 1 ＋1和a 7 ＋1

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（1）a_n＝2n＋1 S_n＝n(n＋2)
（2）数m＝
，见解析
(1)设数列{a_n}的公差为d，由已知，可得
S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝15，得a₂＝a₁＋d＝5，
由a₃＋1为a₁＋1和a₇＋1的等比中项，
可得(6＋d)²＝(6－d)×(6＋5d)，化简得d²－2d＝0，
解得d＝0(不合题意，舍去)或d＝2，
当d＝2时，a₁＝3，其通项公式为a_n＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，前n项和S_n＝n(n＋2)．
(2)由(1)知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n(n＋2)，
则有
＝
＝
(
－
)，
T_n＝
(1－
＋
－
＋
－
＋…＋
－
＋
－
)＝
(1＋
－
－
)＝
[
＋
]．
故存在常数m＝
，使得T_n＝m[
＋
]成立．

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