Question

已知f（x）=2+log3x，求函数y=[f（x）]2+f（x2），x∈[181，9]的最大值与最小值．

Answer 1

解题思路：将f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化简为关于log₃x的函数，通过

x∈[

1

81

，9]

，利用换元法求最值．

∵f（x）=2+log₃x

∴y=log₃²x+6log₃x+6

又∵[1/81≤x≤9，且

1

81]≤x²≤9，

解可得[1/9]≤x≤3，

则有-1≤log₃x≤1

若令log₃x=t，则问题转化为求函数

g（t）=t²+6t+6，-2≤t≤1的最值．

∵g（t）=t²+6t+6=（t+3）²-3

∴当-2≤t≤1

∴g（t）_max=g（1）=13，g（t）_min=g（1）=-2

所以所求函数的最大值是13，最小值是-2．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 此题是个中档题．本题考查换元法求函数的值域问题，以及对数函数的单调性与特点，在使用换元法时，注意范围．