四边形ABCD中,∠BAD=90°,DC⊥AC,AC交BD于点O,AO=AB,过B作BN∥CD交AC于E,交AD于N,下

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  • 解题思路:(1)由CD⊥AC,BN∥DC可得BN⊥AC,∠4=∠2+∠3,∠2=∠5,再利用等角的余角相等得∠EAN=∠1,由AB=AO得∠1+∠5=∠AOB,根据三角形外角性质得∠AOB=∠3+∠OAD,代换后有∠3=∠5,于是∠2+∠3=2∠5,所以∠NBD=[1/2]∠ADC;

    过N点作NH⊥DC,则四边形ENHC为矩形,根据矩形的性质得CH=EN,HN=CE,由∠3=∠5得到ND=NB,根据“AAS”可判断△NDH≌△BNA,则NH=AB,DH=AE,而AD=DN+AN,

    然后根据等相等的代换可得到AD=BE+DC;

    由NH=AB,CE=NH得CE=AB,而AB=OA.则CE=AO,利用AO=2CO得CE=OC+OE=2OC,即OC=OE,然后根据“ASA”可判断△OCD≌△OEB,于是CD=BE;

    由于BC与AD不平行,则C点到AD的距离与AB不相等,然后根据三角形面积公式可得到S△ABD≠S△ADC

    解∵CD⊥AC,BN∥DC,

    ∴BN⊥AC,∠4=∠2+∠3,∠2=∠5,

    ∵∠BAD=90°,

    ∴∠EAN=∠1,

    ∵AB=AO,

    ∴∠1+∠5=∠AOB,

    而∠AOB=∠3+∠OAD,

    ∴∠1+∠5=∠3+∠OAD,

    ∴∠3=∠5,

    ∴∠2+∠3=2∠5,

    ∴∠NBD=[1/2]∠ADC,所以①正确;

    过N点作NH⊥DC,则四边形ENHC为矩形,

    ∴CH=EN,HN=CE,

    ∵∠3=∠5,

    ∴ND=NB,

    在△NDH和△BNA中

    ∠NHD=∠BAN

    ∠HDN=∠4

    ND=NB,

    ∴△NDH≌△BNA(AAS),

    ∴NH=AB,DH=AE,

    ∵AD=DN+AN,

    ∴AD=NB+DH=BE+NE+DH=BE+HC+DH=BE+DC,所以②正确;

    由NH=AB,CE=NH得CE=AB,

    而AB=OA,

    ∴CE=AO,

    当AO=2CO,则CE=OC+OE=2OC,

    ∴OC=OE,

    在△OCD和△OEB中

    ∠DCO=∠OEB

    OC=OE

    ∠COD=∠EOB,

    ∴△OCD≌△OEB(ASA),

    ∴CD=BE,所以③正确;

    ∵BC与AD不平行,

    ∴C点到AD的距离与AB不相等,

    ∴S△ABD≠S△ADC,所以④错误.

    故选C.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;平行线的判定与性质;角平分线的性质;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等,对应角相等.也考查了平行线的性质、矩形的判定与性质.