Question

（2014•许昌二模）已知g（x）=-x2-4，f（x）为二次函数，满足f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=0，

Answer 1

解题思路：设出函数的解析式，由f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=0，可得二次项系数和常数项，结合二次函数的图象和性质分类讨论f（x）在[-1，2]上的最大值为7时，一次项系数的取值，最后综合讨论结果，可得答案．

∵f（x）为二次函数，

∴设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），

则f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=（ax²+bx+c）+（-x²-4）+（ax²-bx+c）+（-x²-4）=（2a-2）x²+2c-8=0

即

2a−2＝0

2c−8＝0

解得：

a＝1

c＝4

∴f（x）=x²+bx+4，

∵f（x）的图象是开口朝上且以直线x=-[b/2]为对称轴的抛物线

故当-[b/2]≤[1/2]，即b≥-1时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（2）=2b+8=7，解得b=-[1/2]

故当-[b/2]≥[1/2]，即b≤-1时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（-1）=-b+3=7，解得b=-4，

∴f（x）=x²-[1/2]x+4或f（x）=x²-4x+4，

故答案为：x²-[1/2]x+4或f（x）=x²-4x+4．

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握选定系数法的步骤和二次函数的图象和性质是解答的关键．