取J为右上到左下对角线上元素为1其余为0的矩阵.
可验证J^(-1) = J,
J左乘矩阵A相当于将A按水平对称轴翻转,即对换第1行与第n行,第2行与第n-1行,...
J右乘矩阵A相当于将A按竖直对称轴翻转,即对换第1列与第n列,第2列与第n-1列,...
由此可知,相似变换A → J^(-1)AJ = JAJ将上三角矩阵变为下三角矩阵.
故上三角矩阵必与一个下三角矩阵相似.
其实有更强的结论:在任意数域F上,方阵A总与其转置矩阵A'相似.
可用λ-矩阵相关理论证明.
证明:数域F上的一个上三角矩阵必与一个下三角矩阵相似