Question

已知数列an的前n项和公式为Sn=pn^2+q,求证数列an为等差数列

Answer 1

Sn=pn²+q

S(n-1)=p(n-1)²+q,n＞1

an=Sn-S(n-1)=pn² - p(n-1)² =2pn - 1,n＞1

a(n-1)=2p(n-1) - 1=2pn - 2p -1,n＞1

an-a(n-1)=2pn - 1 - (2pn - 2p -1) = 2p ,n＞1

∴数列{an}是以a1=S1=p+q为首项,2p为公差的等差数列.

注：这里不用再讨论a1满不满足要求了,∵上式中n最小是2,即有a2-a1=2p,已经满足等差数列要求了.