Question

已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．

Answer 1

解题思路：（1）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；

（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；

②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．

（1）证明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，

△=（-a）²-4a×0=a²，

∵a≠0，

∴a²＞0，

∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）①y=0，则a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，

解得x₁=m，x₂=m+1，

∴AB=（m+1）-m=1，

y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-[1/2]）²-[a/4]，

△ABC的面积=[1/2]×1×|-[a/4]|=1，

解得a=±8；

②x=0时，y=a（0-m）²-a（0-m）=am²+am，

所以，点D的坐标为（0，am²+am），

△ABD的面积=[1/2]×1×|am²+am|，

∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，

∴[1/2]×1×|am²+am|=[1/2]×1×|-[a/4]|，

整理得，m²+m-[1/4]=0或m²+m+[1/4]=0，

解得m=

−1±

2

2或m=-[1/2]．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x-m）看作一个整体求解更加简便．