几何作图问题如图,已知圆O1与O2.P为O2上的一点.现要求通过尺规作图,作一圆O3,与O1外切,并与O2内切于点P.求

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  • 已知:⊙O1与⊙O2交于A、B两点,P是⊙O2上的定点.

    求作:⊙O3,使⊙O3与⊙O2内切于P点而⊙O3与⊙O1互相外切.

    作法:1,连接O2P,过P点作⊙O2的切线,交直线AB于M(如果相交的话,见后“讨论”);

    2、过M作⊙O1的切线,取位于直线AB与O2点之间的一条,记切点为 Q.;

    3、作射线O1Q,交O2P于O3;

    4、以O3为圆心,以O3P为半径作圆,则⊙O3即为所求.

    证明:1、∵P在⊙O2上亦在⊙O3上,O2O3=O2P-O3P,∴⊙O3与⊙O2内切于P点;

    2、∵MP是⊙O2的切线∴MP²=MB*MA;∵MQ是⊙O1的切线,∴MQ²=MB*MA,得MQ=MP;

    又MP⊥O2P,MQ⊥O1O3,可证Rt⊿MQO3≌Rt⊿MPO3,得O3Q=O3P,故Q点在⊙O3上;

    由O1Q+QO3=O1O3,可知⊙O3与⊙O1外切于Q点.故⊙O3符合题目要求.

    讨论:1、当P点位于O1O2的延长线上时,过P点的⊙O2的切线平行于AB,这时找不到M点,作法改为记O1O2交⊙O1于Q,取PQ的中点为O3,取O3P为半径划圆即可.

    2、当P点位于⊙O1内部或重合于A、B时无解,其他位置时一解.