已知：⊙O1与⊙O2交于A、B两点,P是⊙O2上的定点.
求作：⊙O3,使⊙O3与⊙O2内切于P点而⊙O3与⊙O1互相外切.
作法：1,连接O2P,过P点作⊙O2的切线,交直线AB于M（如果相交的话,见后“讨论”）；
2、过M作⊙O1的切线,取位于直线AB与O2点之间的一条,记切点为 Q.；
3、作射线O1Q,交O2P于O3；
4、以O3为圆心,以O3P为半径作圆,则⊙O3即为所求.
证明：1、∵P在⊙O2上亦在⊙O3上,O2O3=O2P-O3P,∴⊙O3与⊙O2内切于P点；
2、∵MP是⊙O2的切线∴MP²=MB*MA；∵MQ是⊙O1的切线,∴MQ²=MB*MA,得MQ=MP；
又MP⊥O2P,MQ⊥O1O3,可证Rt⊿MQO3≌Rt⊿MPO3,得O3Q=O3P,故Q点在⊙O3上；
由O1Q+QO3=O1O3,可知⊙O3与⊙O1外切于Q点.故⊙O3符合题目要求.
讨论：1、当P点位于O1O2的延长线上时,过P点的⊙O2的切线平行于AB,这时找不到M点,作法改为记O1O2交⊙O1于Q,取PQ的中点为O3,取O3P为半径划圆即可.
2、当P点位于⊙O1内部或重合于A、B时无解,其他位置时一解.