Question

如果a^2+b^2+c^2=1,a,b,c是实数,试证：-1/2

Answer 1

因为(a+b+c)^2>=0

a^2+b^2+c^2+2(ab+ba+ca)>=0

则1+2(ab+ba+ca)>=0

所以ab+ba+ca>=-1/2

a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)

=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)

=1/2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)

=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0

a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca

ab+bc+ca