Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射

Answer 1

解题思路：（1）PC在BC上运动时，只需要用勾股定理表示PE²=PC²+EC²就可以使问题到解决，而关键是解决PE²，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．

（2）把a=3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值．

（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到[BP/CE]=[AB/PC]=2，再分情况讨论，从而求出a的值．

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，

∵BP=a，

∴PC=5-a，DE=4-CE，

∵AP⊥PE，

∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，

∵∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△ABP∽△PCE，

∴[CE/BP]=[PC/AB]，

∴[CE/a]=[5−a/4]，

∴EC=

−a2+5a

4，

自变量的取值范围为：0＜a＜5；

（2）当a=3时，EC=

−32+5×3

4=[3/2]，

∴DE=[5/2]，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD平行于BF．

∴△AED∽△FEC，

∴[AD/CF]=[DE/CE]，

∴[5/CF]=

5

2

3

2，

∴CF=3；

（3）如图2，根据tan∠PAE=[1/2]，可得：[AP/PE]=2，

∵∠APB+∠BPE=90°，∠CEP+∠EPC=90°，

∴∠CEP=∠APB，

又∵∠ABP=∠PCE，

∴△ABP∽△PCE

∴[BP/CE]=[AB/PC]=2

于是：[a/EC]=[4/5−a]=2 ①或 [a/EC]=[4/a−5]=2 ②

解得：a=3，EC=1.5或 a=7，EC=3.5．

∴a=3或7．

点评：

本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．