Question

已知二次不等式ax^2+2x+b≤0的解集为{x|x=-1/a},且a>b,则(a-b)/a^2+b^2的取值范围是

Answer 1

二次不等式ax^2+2x+b≤0的解集为{x|x=-1/a}

所以 a>0,且判别式=4-4ab=0

即 a>0,ab=1

所以 b=1/a

令 a-1/a=t

(a-1/a)²=t²

a²+1/a²-2=t²

a²+1/a²=t²+2

a²+b²=t²+2

(a-b)/(a²+b²)

=t/(t²+2)

=1/(t+2/t)

≤1/2√2

=√2/4

当且仅当t=√2时等号成立

所以 (a-b)/a^2+b^2∈(0,√2/4]