Question

把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处（不与A、B重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD于E，折痕为MN．

Answer 1

解题思路：（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=1-x，于是NC=BC-BN=[1/3]+x，再由折叠的性质得到NC′=NC=[1/3]+x，然后在Rt△BNC′中利用勾股定理列出方程（[1/3]+x）²=x²+（1-x）²，解方程即可；

（2）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=AB-BC′=1-x，验算NC=BC-BN=x，再由折叠的性质得到NC′=NC=x，然后在Rt△BNC′中根据斜边最长得出NC′＞BC′，这与NC′=BC′=x矛盾，于是得出结论：如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=[4/3]-（1-x）=[1/3]+x．

∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，

∴NC′=NC=[1/3]+x．

在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，

∴NC′²=BC′²+BN²，

∴（[1/3]+x）²=x²+（1-x）²，

解得x=

4±2

2

3，

∵

4+2

2

3＞2＞AB，

∴x=

4+2

2

3不合题意舍去，

∴x=

4−2

2

3，

即当点C′在AB上距离点B

4−2

2

3个单位时，可使△NBC′≌△C′AE；

（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．理由如下：

设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=1-（1-x）=x．

∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，

∴NC′=NC=x．

在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，

∴NC′＞BC′，

而NC′=BC′=x，

∴如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

点评：

本题考点： 翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了直角三角形的性质及一元二次方程的解法．