令f(x)=√(1-x²),g(x)=px+q
则原题意为在[0,1]之间,fg的函数值差在(√2-1)/2之内
画图可得,f的图像为1/4半圆,g为一条直线
当p大于0的时候,一定会有函数之差大于1（画图可知）
故p一定小于0
考虑到圆的对称性,取p=-1
解方程丨f(x)-g(x)丨=(√2-1)/2（讨论）
i）f(x)-g(x)=……
移项通分神马的,最后变成一个2次的
令Δ=0,得到q=(√2+1)/2
ii）-f(x)+g(x)=……
将q=(√2+1)/2代入,发现当x=0或1时恰好满足条件
也就是说这条直线现在既不能向上移也不能向下移,否则两边的极值都会超出范围
也不能旋转,否则一定会有一侧的函数差大于那个值
故pq具有唯一性
以上,纯手打个人意见,