Question

一个数列求和问题（1/n）^n + (2/n)^n + (3/n)^n +.+ (n/n)^n求它的整数部分的值,证明之

Answer 1

1.

n=1的情况就不需要说,以下说n>1时

这个和可以化简为

[1^n+2^n+3^n+...+(n-1)^n]/n^n + 1

只需要证明第一部分小于1,那么就证明了其和整数部分是1.

事实上,任意k≤n

k^n=[(k-1)+1]^n>(k-1)^n+n*(k-1)^(n-1)>2*(k-1)^n

所以n^n-(n-1)^n-(n-2)^n-...-1

>(n-1)^n-(n-2)^n-...-1

.

.

.

>1

所以[1^n+2^n+3^n+...+(n-1)^n]/n^n