Question

如何证明此等式成立|x-y|≥||x|-|y||≥|x|-|y|

Answer 1

1) 当|x|-|y|≥0时,||x|-|y||=|x|-|y|；否则||x|-|y||>0>|x|-|y|.所以||x|-|y||≥|x|-|y|.

2) |x-y|≥||x|-|y||等价于(x-y)²≥(|x|-|y|)²,等价于-2xy≥-2|x||y|,等价于

|xy|≥xy.当xy≥0时,|xy|=xy;否则|xy|>0>xy.所以|x-y|≥||x|-|y||.

3) 综上,|x-y|≥||x|-|y||≥|x|-|y|