Question

如图,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外切圆的半径为

Answer 1

（1）取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO,

∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,

∵BC是∠DBE平分线,

∴∠DBC=∠CBA,

∴∠OCB=∠DBC,

∴OC∥DB,（内错角相等,两直线平行）,

∴ OC/BD=CE/DE,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC,

∵OC=r,

∴BD•CE=DE•r．

∵∠D=90°,∠E=30°,

∴∠DBE=60°,

∴∠CBE= 1/2∠DBE=30°,

∴∠CBE=∠E,

∴CE=BC,

∴BC•BD=r•ED．

（2）BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5,

设CE=x,BC=CE=x,BD²+CD²=BC²,3²+（4-x）²=x²,x= 25/8,

由前所述,OC∥BD,BD⊥DE,故OC⊥DE,

CE是圆O切线,CE²=AE•BE,

AE=（ 25/8）²÷5= 125/64．