1.证明任取(a,b)上一点x,f(x)首先由Lagrange定理知f(x)-f(a)=(x-a)f'(x1),x1为(a,x)上一点.
同样地,f(b)-f(x)=(b-x)f'(x2),x2为(x,b)上一点.
由在[a,b]上f''(x)>0知f'(x2)>f'(x1).(f(x)-f(a))/(x-a)所以(f(x)-f(a))(b-x)这意味着什么呢……请看图.
接下来只要证明上面那块面积不为0就行了.
若在[a,b]上g(x)连续,(a,b)上g(x)>0,则)∫a,bg(x)dx>0.
因为任取(a,b)上一点x1,f(x1)=a>0,则由f(x)在[a,b]上连续知存在δ>0,在[x1-δ,x1+δ]上,f(x)>a/2.
所以∫a,bg(x)dx>=aδ>0.
在本题中,g(x)=[(x-a)f(a)+(b-x)f(b)]/(b-a)-f(x).
所以∫a,bf(x)dx同样地,由f'(x)>0知在(a,b]上,f(x)>f(a),于是∫a,bf(x)dx>(b-a)f(a).