解题思路：（1）求导函数，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）分必要性与充分性进行论证，正确构造函数g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，将方程f（x）=2ax有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可得证．
（1）求导函数，可得f′(x)＝2•
x2−a
x（x＞1）
①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=1；
②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x＝
a
当x∈(1，
a)时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当x∈(
a，+∞)时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，
∴x＝
a时，f（x）min=a-alna
∴g(a)＝
1，a≤1
a−alna，a＞1；
（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，则g′(x)＝
2
x(x2−ax−1)
①充分性：若a＝
1
2，则g（x）=x2-lnx-x，g′(x)＝
1
x(2x+1)(x−1)
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，
∴当x=1时，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴方程f（x）=2ax有唯一解；
②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x2-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；充要条件．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查充要性的证明，考查分类讨论是数学思想，难度大．