解题思路：（1）求导数f′（x），由函数f（x）在区间[1+∞）内单调递增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求函数最值即可；
（2）令f′（x）=0，得x=[1/a]，根据x=[1/a]在区间[1，2]外、区间内分情况讨论，按照单调性即可求得其最小值；
f′（x）=[ax−1
ax2（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥
1/x]在[1，+∞）上恒成立，
又∵当x∈[1，+∞）时，[1/x≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；
（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）min=f（1）=0；
当0＜a≤
1
2]，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）min=f（2）=ln2-[1/2a]；
当[1/2]＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=[1/a]∈（1，2），
又∵对于x∈[1，[1/a]）有f′（x）＜0，对于x∈（[1/a]，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）min=f（[1/a]）=ln[1/a]+1-[1/a]，
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当0＜a≤
1
2时，f（x）min=ln2-[1/2a]；
②当[1/2＜a＜1时，f（x）min=ln
1
a]+1-[1/a]；
③当a≥1时，f（x）min=0．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．