Question

（2012•宁德模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．

Answer 1

解题思路：（1）求出抛物线y²=4x的焦点与准线方程，设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，利用经过点F的直线l相切，且圆心在直线x-1=0上的圆的方程，建立方程组，即可求得圆的方程；

（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0）代入抛物线方程，消元，确定P的坐标，求得线段AB的垂直平分线方程，求得与x轴交于点M的横坐标，即可确定M的取值范围．

（1）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线为l为x=-1，设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，

∵经过点F的直线l相切，且圆心在直线x-1=0上的圆的方程，

∴

a−1＝0

a−(−1)＝r

(a−1)2+b2＝r

∴

a＝1

b＝2

r＝2或

a＝1

b＝−2

r＝2

∴圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，或（x-1）²+（y+2）²=4；

（2）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为P

将直线方程代入抛物线方程，消元可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0

∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2，∴xP＝1+

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆的方程，属于中档题．